Решу егэ гущин 18 год. Задания ЕГЭ профильная математика – на что обратить внимание

Дмитрий Гущин
Некоторые склонны объяснять поступки других тем, что привлекает их самих. Рекламы мне не нужно - для меня не составляет трудности опубликоваться в газетах или оказаться в телекадре, и именно поэтому история с ЕГЭ получила огласку, а вовсе не наоборот. А вот сам вопрос вызывает удивление: не было никакого моего «поступка»: я увидел, что в интернете организована торговля решениями ЕГЭ, и рассказал об этом. Другое дело, что проблема, к сожалению, гораздо шире - она не только в списывании во время экзамена, она в массовом обмане и коррупции в сфере образования.

Дмитрий
Учитель - это друг ученика, товарищ и брат. Во время учебного года учитель может издеваться сколько угодно, но в решающий момент, когда на карте стоит жизнь ребенка, нормальный учитель просто обязан дать списать. Как вам, Дмитрий, такая логика?

Гущин
Мне эта логика не близка. Учитель ученику и не друг, и не брат, и издеваться над учеником ему непозволительно. А во время экзамена на карту поставлена не жизнь, а одна из оценок - одна из тысяч оценок, которые мы получаем в течение этой жизни. Иногда эти оценки будут хорошими, иногда плохими, бывает, завышенными, бывает, нас недооценят. Вот об этом надо говорить ученикам.

Я против той «логики», по которой учителя должны ставить незаслуженные отметки, врачи - выдавать поддельные справки, пожарные инспекторы - разрешать эксплуатацию «Хромой лошади», а Речной регистр - позволять «Булгарии» возить людей. Дело учителя - учить быть честным перед собой и перед другими, разве это не так? А когда учитель «по знакомству» дает списать на экзамене, он чему учит? Я за единые для всех законы, против телефонного права, против заказных судов - я за то, чтобы мы жили в честной стране. И как это иногда ни неприятно, начинать нужно с себя.

Как провести в России честный ЕГЭ

Дмитрий
Будем реалистично исходить из того, что в мае следующего года наша страна еще не станет честной, с едиными для всех законами. Как в таких условиях нам сохранить ЕГЭ? Есть ли у вас какие-нибудь рецепты?

Гущин
Комплекс взаимосвязанных мер изложен, например, на сайте Учительской Газеты .

Дмитрий
К сожалению, Дмитрий, в вашем «Комплексе мер» слишком много буков. Не могли бы вы изложить то же самое покороче, с учетом жары и отпуска?

Гущин
1) Необходимо рассекретить варианты ЕГЭ, опубликовав в интернете варианты прошлых лет и создав открытые банки экзаменационных заданий частей А и В для будущих экзаменов.

2) ЕГЭ по обязательным предметам разрешить сдавать, начиная с 9 класса. По профильным предметам - начиная с десятого класса. Разрешить пересдачу экзаменов, чтобы можно было улучшать свои результаты.

3) Разрешить учащимся просматривать экзаменационные работы через интернет, чтобы можно было готовиться к апелляции.

4) Сделать гласной статистику ЕГЭ: учащиеся, выбирающие себе школу, их родители, учителя, общественность имеют право знать средние баллы школы, пункта проведения экзамена, района, города, республики.

5) Оборудовать экзаменационные аудитории средствами видеорегистрации, видеозаписи сохранять для проверки возможных жалоб на нарушение порядка проведения экзамена.

6) Глушить сотовую связь в экзаменационных аудиториях.

7) Запретить учащимся и организаторам покидать экзаменационные аудитории во время экзамена (только во время специального перерыва).

8) Наказывать учащихся и организаторов за нарушение порядка проведения экзамена и премировать организаторов за предотвращение нарушений.

Дмитрий
Ваш «Комплекс мер» - очень жесткий документ. («Проверять документы», «налагать штрафы», «усилить ответственность» и т.п.) Краткое изложение, которое вы только что сделали, гораздо мягче. Почему?

Гущин
«Как провести честный ЕГЭ» - это не документ, это мое личное мнение о том, что нужно сделать, чтобы затруднить преступную деятельность взрослых, торгующих ответами на ЕГЭ. Я действительно считаю, что документы надо проверять, а ответственность усилить. Это не мне нужно, это нужно тем детям, кто одиннадцать лет добросовестно учился, тем, кто пишет ЕГЭ честно и рассчитывает на свои знания, а не на возможность списать в туалете. Их мы должны защитить.

Дмитрий
Вопрос был про смягчение вашей позиции. Смотрим, например, пункт 3.6. «Комплекса»: «Следует подготовить и заключить соглашения с поисковыми системами, социальными сетями, dns-регистраторами о незамедлительном блокировании недобросовестных ресурсов, о блокировании контекстного поиска по запросу «Купить ЕГЭ» и аналогичным». Запрещать что-то Яндексу (тем более - Гууглу) - это была заведомо нереалистичная мера, и вы от неё отказались, позицию смягчили, так?

Гущин
Нет, не так. Прочтите внимательнее, я нигде не говорю о запрете. В тексте говорится о том, что следует заключить соглашения о блокировании недобросовестных ресурсов. Соглашение - дело добровольное. Если в социальной сети появляется детское порно, то администраторы его удаляют. Экзаменационные материалы во время экзаменационной сессии они тоже могут удалять. Не подумайте, что придется закрыть весь интернет. Достаточно на полмесяца приостановить 2-3 группы, 2-3 сайта, торгующие решениями.

Дмитрий
Хорошо, записал. Теперь давайте уточним про «запрет учащимся покидать экзаменационные аудитории». Вот на 45-ой минуте экзамена ребенок встает и говорит «Я сейчас описаюсь». Что, по-вашему, должны сделать организаторы?

Гущин
В крайнем случае, ребенок выйдет на 45-ой минуте и придет на вторую часть экзамена - ту, которая после перерыва. Но все же предлагаю согласиться с тем, что обычный здоровый человек, не забывший сходить в туалет перед экзаменом, может просидеть в аудитории полтора-два часа. Продолжительность одной вузовской лекции - это вполне по силам выпускникам.

Дмитрий
Значит, можно будет просидеть 45 минут, выйти, еще 45 минут неизвестно чем заниматься, а потом прийти на вторую половину? А в чем тогда смысл?

Гущин
Экзамен состоит из двух частей с перерывом. До перерыва учащиеся отвечают на экзаменационные вопросы из частей А и В, после перерыва - часть С.

Дмитрий
Хорошо, решили вопрос. Работаем дальше. Некоторые предложения вашего «Комплекса мер» очень легко осуществить. Почему же это не делается? (Вариант "вредят специально, враги России" пока не рассматриваем))
1) Рассекретить материалы ЕГЭ: опубликовать их в интернете легко, инфраструктура есть. Почему не делают?
2) Глушить сотовую связь очень просто, и покупать ничего не надо, у МВД/ФСБ уже всё есть (как раз проверят своё оборудование). Почему не глушат?

Гущин
Каждый экзаменационный день отключать в стране сотовую связь средствами спецслужб никто не позволит. Да это и не требуется: для проведения экзаменов достаточно маломощных глушителей, рассчитанных на небольшие помещения; и просить никого не надо, откомандировывать специалистов из одного ведомства в другое. В школах под ЕГЭ задействуют по 5-6 кабинетов, подавитель сигнала стоит меньше 1000 руб., на всю школу потребуется несколько тысяч рублей. Это небольшие деньги в расчете на много лет. Но пока таких устройств в школах нет.

На то, чтобы не открывать КИМы, по-видимому, есть две причины. Первая: часть задач типов А и В используется из года в год, и составители не хотят раскрывать условия. Но это не главное препятствие, некоторое небольшое количество вариантов можно было бы опубликовать, ничему это не помешало бы. Главная причина в том, что публикация вариантов это работа, а делать ее никто никому не поручал.

Дмитрий
Теперь представим себе большое кавказское село. И тамошний директор, и проверяющие, и милиция - все хорошие, близкие люди - кто помешает им помочь своим детям? Никто не помешает. Есть ли у вас рецепты против такого села? (Рецепт "Давайте все станем честными" не принимается.)

Гущин
Рецепт такой: видеорегистрация экзамена и статистика. Если кто-то получит 65 баллов вместо 61, никто и не заметит. А если результаты будут статистически достоверно выбиваться, то приедет ревизор. Руководителей региональных ведомств за такие нарушения увольняют. Яндекс: «В связи с аномальным превышением в 2010 году количества высокобалльных результатов ЕГЭ в Карачаево-Черкесии по сравнению с общероссийскими показателями и грубыми нарушениями процедуры проведения государственной аттестации президент Эбзеев своим указом отправил в отставку и. о. министра образования и науки Карачаево-Черкесской республики Ирину Шаповалову», - говорится в сообщении пресс-службы главы КЧР.

Глубоко личные вопросы

Дмитрий
Интервью между тем начинает заканчиваться. Осталось несколько глубоко личных вопросов. Первый: моя конспирологическая фраза "вбросом через Гущина какие-то большие люди хотят прекратить или сильно изменить ЕГЭ" оказалась, как мы видим, пророческой . Это точно случайность?

Гущин
Что именно случайность? Вброс - это когда пресс-секретарь чиновника звонит в СМИ и от имени «источника, близкого к...» сообщает то, что хочет. Ко мне никто не обращался.

Дмитрий
Хорошо, личный вопрос №2. Мне кажется, что у вас с Навальным одна и та же проблема: вы боретесь с тем, что всех, по большому счету, устраивает. Крупномасштабное списывание на ЕГЭ, например, основывается на общественном консенсусе о том, что это не-плохо. Есть ли у вас какой-нибудь привлекательный лозунг против списывания для масс (родителей, учеников и учителей)?

Гущин
«Обман и коррупция не могут быть путем к успеху».

Дмитрий
И это - всё? А по-моему - могут)))

Гущин
Что такое успех и что значит быть успешным, каждый определяет для себя сам. Но все же настоящий успех не может быть основан на безнравственности, и большинство из нас с презрением относится к тем, кто строит свою жизнь на обмане, воровстве и обходе законов. Многим удобно представлять дело так, как будто это норма. Но утверждение, что мы не можем без лжи, - это иллюзия.

• Абсолютный победитель Всероссийского конкурса «Учитель года России - 2007».
• Почётный работник образования Российской Федерации
• Двукратный Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации Министерства образования и науки РФ
• Член Федеральной комиссии по разработке контрольно-измерительных материалов для проведения единого государственного экзамена по математике (2009-2010), эксперт Федеральной предметной комиссии ЕГЭ по математике (2011-2012, 2013-2014), заместитель председателя региональной предметной комиссии ГИА по математике 2012-2014).

Пьянкова Ольга Сергеевна, учитель математики школы, Элекмонар Уважаемые Дмитрий Дмитриевич и команда проекта «ДАЕГЭ»!
Спасибо за создание такого замечательного электронного ресурса для помощи преподавателю. Теперь у меня есть возможность проводить уроки, консультации, дополнительные занятия с использованием подробных видео уроков. Ваши уроки выстроены грамотно, продуманы до мелочей. А «присутствие» на уроке Дмитрия Дмитриевича придаёт мне уверенности, делает мои уроки интереснее, содержательнее. Используя тесты, конспекты, видео, заметила, что значительно сократилось время для подготовки к урокам математики и консультациям. Ведь не надо готовить задания для контрольных и самостоятельных работ, составлять тесты. Просто бери готовый конспект к каждому уроку, домашние задания, основанные на базе заданий ЕГЭ с системой проверки, контрольные работы и пользуйся!!!
Ваш труд неоценим!!! Еще раз - СПАСИБО!

Лепихина Ольга Викторовна, учитель математики, Ижевск Зашла на курс "ДАЕГЭ" , посмотрела несколько видео, порешала несколько тестов и контрольную работу. Очень полезные и нужные материалы, видеоуроки с подробными объяснениями и самое главное тесты с режимом проверки онлайн. Учащимся это нравится, так как результат можно увидеть сразу и разобрать ошибки. Очень полезно, что перед каждым тестом есть разбор заданий и можно посмотреть видео столько раз, сколько нужно ученику - в своем режиме. У Вас замечательная команда, которая пытается облегчить труд учителя и помогает учителю в работе со всеми категориями учеников.

Ксения Владимировна, учитель математики, Ижевск При беглом просмотре очень впечатляет, объемом и качеством.
Для сельских ребят это серьезная помощь, а так же тем кому не повезло с учителем...
очень хорошая идея: иметь возможность покупать интересующее занятие, а не всё
И ещё радует цена....
Спасибо!

Майсурадзе Виктория Владимировна, учитель математики, Междуреченск Спасибо большое Дмитрию Дмитриевичу за все, что он делает. Его сайт Решу ЕГЭ и данный ресурс это палочка-выручалочка при работе.
При нынешней нагрузке совсем не хватает времени заниматься чем-то еще, кроме проверки тетрадей. Спасают только такие ресурсы. Спасибо.

Егорова Виктория Валерьевна, учитель математики, Елабуга Нет слов, чтобы выразить благодарность. Очень-очень замечательный материал, я бы даже назвала его учебно-методическим комплексом. Весь материал строго систематизирован и представлен практически по всем заданиям экзамена. Здесь есть и повторение, и необходимый теоретический материал, и тестовые задания, и даже контрольные работы по блоку уроков. Очень хочется найти место всему этому на своих уроках.

Насибуллина Зульфия Салаватовна, учитель математики, Малояз Просмотрев сайт Даегэ, удостоверилась что можно здесь решать тесты онлайн совместно с обучающимися. Предложила своим ученикам ваш сайт, названия курсов. Я думаю, что мы активно будем работать с сайтом. До этого мы активно использовали сайт РЕШУ ЕГЭ, РЕШУ ОГЕ. Брали оттуда тесты и также решали онлайн. Спасибо создателям сайта, что помогаете учителям и учащимся, ведь не у всех есть возможности выехать на курсы или заниматься у репетитора.

Анна Каро, учащаяся Спасибо за такой интересный проект. Классно помогает!
Особенно в последние дни перед ЕГЭ:) Отличная система для отличных результатов.

Сурина Зоя Петровна, учитель математики, Москва Уважаемые коллеги! Спасибо за интересный и содержательный материал.
Считаю курс подготовки к ЕГЭ по математике доступным, кратким, рациональным и полезным.
Надеюсь,что и решение более сложных задач будет понятным и увлекательным для выпускников.

Култышева Ольга Валерьевна, учитель математики, Саратов Здравствуйте! Вашим сайтом пользуюсь уже несколько лет, как при подготовке к ЕГЭ в 10-11 классах, так и при изучении тем в в классах, начиная с 5. Увидев, что можно записаться на курс "ДАЕГЭ", решила попробовать. Познакомилась с курсом. Мне очень понравилось. Было бы хорошо иметь этот курс всегда под рукой. Спасибо Вам!

Бусова И. И., учитель математики, Новосибирск Добрый день коллеги!
Замечательный и полезный ресурс!!!
Уроки тщательно проработаны, все грамотно, четко, последовательно, подробно и ясно. Учебный материал строго систематизирован. Курс - огромная помощь как для учеников, так и для преподавателей. Огромное спасибо!!!

В данном разделе мы занимаемся подготовкой к ЕГЭ по математике как базового, профильного уровня - у нас представлены разборы задач, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Пользуясь нашим ресурсом, вы как минимум разберетесь в решении задач и сможете успешно сдать ЕГЭ по математике в 2019 году. Начинаем!

ЕГЭ по математике является обязательным экзаменом любого школьника в 11 классе, поэтому информация, представленная в данном разделе актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два вида - базовый и профильный. В данном разделе я приведен разбор каждого вида заданий с подробным объяснением для двух вариантов. Задания ЕГЭ строго тематические, поэтому для каждого номера можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую именно для решения данного вида задания. Ниже вы найдете ссылки на задания, перейдя по которым можно изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно пополняются и актуализируются.

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части , включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число , конечная десятичная дробь , или последовательность цифр .

Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов №1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.

Среднее общее образование

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Математика

Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).

Минимальный порог - 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

• часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
• часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».

Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1) Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 - 172 = 5 (куб м)

2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.

Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.

6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ: 15000.

Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.

Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:

Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:

Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.

Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :

у которых все вершины красные.

3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.

10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.

11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.

Ответ: 10.

Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).

Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .

Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим

откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.

Ответ: –2.

Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.

Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .

Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.

Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16| · (–1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x – 13, где k 1 = 4.

2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:

3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.

Ответ: –0,25.

Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.

Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:

преобразования числовых рациональных выражений;

преобразования алгебраических выражений и дробей;

преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;

действия со степенями;

преобразование логарифмических выражений;

1. преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.

Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и

Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём

Значит, tg 2 α = ± 0,5.

3) По условию

значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.

Ответ: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mv 2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение. Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только

Изобразим решение неравенства графически:

Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.

Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Ответ: 65.

Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.

Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.

Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).

2) Найдем производную функции:

4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума x = –8.

а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,

б) Найдём корни, лежащие на отрезке .

Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.

Тогда расстояние между хордами составляет либо

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.

б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.

Значит, искомый угол равен

Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:

1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.

2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].

3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].

Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

Решение: а)

1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.

2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.

3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Ответ: 24 – 12√3.

Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство

(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.

Ответ: 24.

При каких a система неравенств

имеет ровно два решения?

Решение: Данную систему можно переписать в виде

Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а ). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y = | x | – a , причём последний есть график функции
y = | x | , сдвинутый вниз на а . Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.

Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,

Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.

б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .

в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.

Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27

значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.

Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.

в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.

Осталось проверить значения с 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.

Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.

________________

*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.